Дифференциальный оператор - оператор, заданный дифференциальным выражением и действующий в пространстве функций [2].
Оператор A называется линейным, если для любых функций и (к которым он применим) и любого числу выполняются равенства: [1]
Пусть задан оператор Лежандра определенный правилом . Операторное уравнение будет иметь вид (1). Попробуем найти спектр оператора A, если решение ДУ (1) изначально ищется в виде разложения по степеням x, .
Решая дифференциальное уравнение, порожденное оператором Лежандра, этим методом получаем систему алгебраических уравнений относительно :
Из (2) видно, что спектр определен точечно в виде формулы .
Исходя из полученного результата можно сделать вывод, что точечная часть спектра оператора Лежандра вычисляется конструктивно с помощью лишь разложения решения соответствующего операторного уравнения по степеням x.
Список литературы:
1. Виленкин Н.Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. / Н.Я. Виленкин, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов.— М.: Просвещение, 1984. — 176 с.
2. Наймарк M.А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969; Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., M., 1985; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., M., 1982. В.П. Павлов