О функциях множества, принимающих значенияв полуупорядоченном линейном пространстве, и их вариациях

Филиппенко Виктор Игнатьевич

В настоящем сообщении изучаются функции множества, определенные на некоторой s - алгебре S подмножеств множества Т и принимающие значения в полуупорядоченном линейном пространстве Х. В области значений определена сходимость с регулятором. Некоторые из полученных результатов могут использоваться в теории коммутирующих самосопряженных операторов, заданных в гильбертовом пространстве [1].

          Пусть Х – векторная решетка. Для х Î Х полагаем х₊ =sup {x, 0}; x _- = sup {-x, 0}, , X⁺ = {х Î Х |х ≥ 0}. В Х будем использовать r – сходимость , если для некоторого  такое, что  при . На σ – алгебре S будем рассматривать функцию , принимающую значения в Х. Предполагаем, что .

    Ряд, состоящий из элементов решетки Х, будем называть r – сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится с регулятором  к некоторому элементу этой решетки.

яется соотношение  с регулятором .

    Теорема 3. Если функция множества  равномерно r – счетно – аддитивна на σ – алгебре S с регулятором , то ее вариации ,  и  тоже равномерно r – счетно – аддитивны на той же σ – алгебре S.

Список литературы:

1. Филиппенко В.И. Циклические подпространства и спектральные типы системы коммутирующих самосопряженных операторов // Функциональный анализ. Теория операторов: Межвуз. сб.- Ульяновск, 1984. – вып. 23.-С.115-124.