Преобразование лапласа при решении линейных интегро-дифференциальных уравнений

Шонин Максим Юрьевич

Объектом нашего исследования являются линейные интегро-дифференциальные уравнения, то есть уравнения вида:

(1)

Здесь

Интегро-дифференциальные уравнения имеют широкий спектр применения. Они используются в теории упругости, некоторых моделях биологических и физических процессов.

Интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного p = s + с функцией f(t) вещественного переменного (оригиналом), определяемое формулой

называется преобразованием Лапласа [2].

Функция называется изображением функции. Интеграл в правой части равенства (2) называется интегралом Лапласа.

Преобразование Лапласа обладает богатым набором свойств:

Функция  называется изображением функции . Интеграл в правой части равенства (2) называется интегралом Лапласа.

Преобразование Лапласа обладает богатым набором свойств:

Если , , то

-                Линейность:

-                Подобие: Если

-                Смещение:

-                Запаздывание(Теорема Бореля):

-                Дифференцирование изображения:

-                Дифференцирование оригинала: ,

-                Интегрирование изображения:

-                Интегрирование оригинала: ,

-                Умножение изображений (изображение свёртки):

-            Дифференцирование по параметру:

Основной принцип реализации данного метода состоит в переходе от искомых функций – оригиналов к их изображениям, над которыми проводят операции, соответствующие заданным операциям над функциями – оригиналами, а затем возвращаются к искомым функциям – оригиналам [1].

Рассмотрим случай, когда

Тогда уравнение (1) примет вид

Пусть - непрерывные функции – оригиналы и    

Тогда функция

Используя свойства умножения изображений и дифференцирования оригинала, а также свойствами свертки получим:

Тогда уравнение (3) примет вид

Искомая функция

.

Находя  как функцию – оригинал функции  получим решение интегро-дифференциального уравнения (3).

Пример. Решить интегро-дифференциальное уравнение

Решение

Пусть

Тогда, учитывая начальные условия, получим

Используя метод неопределенных коэффициентов получим

Ответ:

Список литературы:

1.  Акманова С.В., Шонин М.Ю. Решение дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа // Педагогические аспекты математического образования: Сб. науч. Тр. / Под ред. проф. П.Ю. Романова. Вып. 9. – Магнитогорск: МаГУ, 2012. – 180с. – С. 10-18.

2.  Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.