Решение уравнений с параметрами на едином государственном экзамене

Данченко Софья Александровна*
Собина Татьяна Аврельевна**

Просматривая пособия и сборники задач для подготовки к ЕГЭ, я обратила внимание на то, что во всех вариантах присутствуют уравнения с параметрами. Однако в школе на решение уравнений с параметрами отводиться мало времени. Поэтому у меня появилась цель научиться решать уравнения с параметрами для успешной сдачи экзамена по математике. Покажу, как я бы решила данный пример на экзамене.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство  верно при всех значениях переменной х, принадлежащих отрезку [-4;2].

Решение. Оценим значение основания внешнего логарифма. Так как , то . Сравним  и 1. Для этого преобразуем выражение :

..Поскольку  то .

Так как основание логарифма больше 1, то исходное не равенство равносильно неравенству вида: , которое должное быть верным при всех х  [-4;2]. Решим неравенство:

.

Рассмотрим функцию . Первое неравенство будет выполнено для всех значений х  [-4;2] тогда и только тогда будет верна система  Получим: .

Осталось проверить, будет ли при a=2 второе неравенство системы также верно для всех значений х  [-4;2]. Подставим, получим: что является верным неравенством для любых значений переменной, в том числе и для всех значений х  [-4;2].

Ответ: 2.

Рассмотрим еще один пример .

Решение. По смыслу задачи  x N.При этом условии данное уравнение равносильно следующему: . При это а = 1 x-любое натуральное число, при . Отсюда  , т.е при  решения нет.

Список литературы:

1. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами. 3-е изд.,/ П.И. Горнштейн - Изд-во «ИЛЕКСА», 2007. – 328 с.

2. Амелькин, В.В, Рабцевич, В.Л. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике/ В.В Амелькин, В.Л. Рабцевич - Изд-во «Асар», 1996. - 464 с.